Patryk Sokol

Hej

 

Wątek ten jest zebraniem w całości dyskusji z tego: http://pfmrc.eu/index.php?/topic/59696-k%C4%85t-natarcia-versus-bernoulli-posty-przeniesione/ wątku, przeredagowaniem całości i uściślenia kilku rzeczy, zapraszam do lektury

 

1. Czym jest siła?

 

Podstawowym wzorem opisującym siłę jest znany ze szkoły gimnazjalnej (podobno, dawniej podstawowej, ale ja tego nie widziałem):

F=ma     (1)

 

gdzie:
 

F- siła
m - masa na którą siła oddziałuje

a - osiągane przyśpieszenie

 

Ten skądinąd banalny wzorek określa nam jak mocno musimy pchać przez 5s szafę, aby osiągnęła prędkość 50m/s (przy założeniu, że nie ma tarcia ).

 

To co jednak nas bardziej interesuje, to inna postać wzoru określająca siłę.

 

F=dp/dt     (2)

 

gdzie:

dp - przyrost pędu

dt - przyrost czasu

 

Teraz załóżmy, że masa tego na co oddziałuje siła jest stała. Założenie to pozwala nam rozwinąć zmianę pędu do następującej postaci:
dp = dv * m

gdzie:

dv - zmiana prędkości

m - masa

 

A składając wzory razem otrzymamy:

F= (dv*m)/dt    (3)

 

To określenie siły pozwala nam zauważyć pewną bardzo ważną rzecz:
Siła jest wynikiem zmiany prędkości obiektu posiadającego masę!

 

2. Czym jest ciśnienie?

 

Aby zrozumieć czym jest w rzeczywistości ciśnienie, musimy uderzyć w stronę termodynamiki statystycznej, na szczęście niezbyt głęboko

Potraktujmy, więc gaz nie jako ośrodek ciągły, a jako zbiór cząsteczek poruszających się w losowych kierunkach, z losową prędkością (jednak tak rozłożoną, że średnia prędkość kinetyczna cząsteczek odpowiada temperaturze gazu). Wygląda to jakoś tak:

 

Czyli jest totalny chaos, a nasze cząsteczki latają sobie jak chcą.

 

Ciśnienie, na gruncie termodynamiki fenomenologicznej, opisuje równanie gazu doskonałego:

 

p=nRT/V   (4)

 

Gdzie:
p - ciśnienie

V - objętość w jakiej znajduje się gaz

n - liczba moli gazu

R - stała gazowa

T - Temperatura

 

Wzorek nam pokazuje, że gdy spada objętości, rośnie temperatura i zwiększa się liczba moli gazu na danym obszarze to ciśnienie rośnie.

 

Pochodzenie tej zależności wyjaśnia nam termodynamika statystyczna.

Ciśnienie określa z jaką siła oddziałuje gaz na daną powierzchnie, wróćmy więc do naszych kulek, które teraz jednak znajdą się w czymś:

 

To co widzimy od razu, to to że z racji tego, że nasze cząsteczki poruszają się chaotycznie, to w końcu muszą uderzyć w ścianki czegoś w czym są.

Kiedy taka cząsteczka uderzy w ściankę dochodzi do sprężystego odbicia cząsteczki od ścianki.

Zastanówmy się teraz co zwiększa nam częstość uderzeń cząsteczek w ścianki:
a. Prędkość cząstek (im więcej w sekundę przebędą, tym szybciej w końcu w ściankę trafią)

b. Zagęszczenia cząstek wewnątrz pudełka.

 

Parametr a. opisuje równanie średniej prędkości cząstek gazu:

<v> = (3kT/m)^0,5    (5)

 

gdzie:

<v> - średnią prędkość cząstki gazu

k- stała Boltzmana

T - temperatura

m - masa cząstki

 

Z równania (5) wnioskujemy, więc że prędkość rośnie wraz z temperatura, a więc częstotliwość zderzeń rośnie wraz z temperaturą

 

Parametr b należy rozumieć jako ścisk panujący w pudełku, a każdy kto jechał autobusem miejskim, wie że ścisk tym większy im ludzi więcej, a mniejszy im większy autobus, stąd wiemy że ścisk rośnie z ilością cząsteczek, a spada ze wzrostem objętości na jakiej są upchane.

Widzimy więc, że wraz ze wzrostem temperatury i liczby moli, a spadkiem objętości rośnie częstość zderzeń.

 

Zastanówmy się, więc nad samym momentem zderzenia - cząstka porusza się w jedną stronę, a nagle zmienia swój kierunek, zmienia się więc kierunek wektora prędkości.

Jak ustaliliśmy wcześniej, każda zmiana prędkości nieodłącznie wiąże się z wystąpieniem siły, wiemy więc, że na cząstkę zadziałała siła przyłożona przez ściankę.

Tutaj do gry wchodzi trzecia zasada dynamiki Newtona - "Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. W inercjalnym układzie odniesienia siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało)."

 

W efekcie nie tylko na cząsteczkę zadziałała siła, ale musiała zadziałać również na ściankę! Mamy więc siłę występująca na powierzchni, a więc jest to nasze ciśnienie gazu!

 

Wróćmy teraz do równania gazu doskonałego (4), widzimy w nim że ciśnienie zależy od temperatury, objętości  i liczności cząstek, a więc parametrów które ustaliliśmy wcześniej z gruntu termodynamiki statystycznej - udało nam się powiązać parametry mikroświata (prędkości cząsteczek) z makro parametrami takimi jak temperatura, objętość, liczność - jak mnie o to zapytacie - prostota tego jest piękna

 

Widzimy jednak, że pojawia się nam tutaj kwestia trzeciej zasady dynamiki Newtona, co wiąże się z:
 

3. Zasada zachowania pędu

 

Rozpatrzmy poruszające się ciało, pod postacią czerwonej kulki:

 

 

Nasza kulka posiada pewną prędkość, która posiada swoja wartość i kierunek (równoległy do osi x) oraz posiada masę.

Mnożąc te wartości otrzymamy pęd kulki, a rzutując wektor pędu na oś X i oś Y układu otrzymamy pęd wzdłuż osi X (px) i pęd wzdłuż osi Y (py).

 

Nasza kulka zmierza na spotkanie ze ścianką (to może być dolna powierzchnia skrzydła ustawionego pod kątem 45st do opływu):

Ścianka przed zderzeniem posiada zerowy pęd, stąd suma pędów w układzie równa jest pędowi kulki (p), na osi X suma pędów równa jest p, a na osi Y równa jest 0.

 

Kulka w końcu dociera do ścianki:

 

Następuje sprężyste odbicie, w czasie którego kulka odbija się od ścianki, pod kątem równym kątowi padania, zmieniając swój kierunek o 90st, nie zmieniając jednak prędkości.

Warto zauważyć, że pęd nie zmienił swojej wartości, lecz jego kierunek się zmienił. W efekcie zmieniły się wartości pędów na konkretnych osiach. na osi X kulka ma zerowy pęd, zaś na osi Y kulka ma pęd równy -p (dlatego minus,że porusza się w 'dół' osi).

 

Rozpatrzmy teraz krajobraz po bitwie:

 

Jak wspomniałem wcześniej, kulka zmieniła swój pęd, jednak ze względu na zachowanie pędu zmienił się również pęd płytki (jak widać wyżej - suma pędów w układzie pozostała stała).

 

W efekcie kulka i ścianka oddziaływały na siebie siła, prowadzać do wzajemnej zmiany pędu.

Jak to się ma do wzoru:
F = dp/dt ?
No więc, dla bryły idealnie sztywnej, przyrost czasu równy jest zero (odbicie następuje momentalnie), więc siła jest nieskończona

W rzeczywistości, zawsze mamy do czynienia z pewnym odkształceniem sprężystym, które rozkłada oddziaływanie na siebie w czasie, a siła wartość inną od nieskończonej.

 

To pozwala nam zauważyć, że każda siła nieodłącznie wiąże się z zmianą prędkości czegoś!

 

 

5. Konsekwencje prawa zachowania pędu dla ciśnienia

 

Wróćmy do naszych kulek w pudełku:

 

Kulki przekazują swój pęd ściankom, jednak ze względu na to, że we wszystkich kierunkach na raz, w sposób całkowicie losowy to zmiany pędu równoważą się, a pudełko nie nabiera energii kinetycznej (za to jest rozciągane na zewnątrz).

 

Zastanówmy się jednak co będzie gdy otworzymy pudełko z jednej strony (zakładamy, że pudełko jest umieszczone w próżni):

 

W efekcie na ścinkę górną i dolną działające siły się równoważą, ale boczna ścianka jest już niezrównoważona. W efekcie powstaje asymetria ciśnień, a siła wypadkowa kieruje pudełko w stronę prawą, zaś gaz wyskakuje w lewo (przy okazji pokazaliśmy zjawisko odrzutu).

 

Jak widać działanie ciśnienia jest nieodłącznie powiązane ze zmianą prędkości gazu!

 

7. Wpływ ukierunkowanego przepływu gazu - zderzenie czołowe

 

Nabyta wiedza pozwala nam odpowiedzieć na pytanie co się stanie gdy nadamy cząsteczkom gazu pewną prędkość i wyślemy na spotkanie ze ścianą.

Poruszanie się gazu w jednym kierunku pozwala zauważyć, że nagle jeden kierunek staje się uprzywilejowany pod kątem częstości zderzeń. Działa to w ten sposób, że na losowe ruchy termiczne nakładana jest prędkość przepływu, więc w tym kierunku gdzie się nałożyła następują zderzenia proporcjonalnie częściej do przyrostu prędkości.

To zjawisko zna każdy z nas gdy idzie pod wiatr (albo jedzie na rowerze, nie cierpię czołowego wiatru na rowerze).

 

8. Jak działa skrzydło - dolna powierzchnia

 

Zasada działania dolnej powierzchni skrzydła jest prosta. Nasze cząsteczki gazu poruszając się natrafiają na dolną powierzchnie skrzydła.

Chcąc nie chcąc (bo przez skrzydło nie przenikną) - muszą dostosować swój kierunek ruchu do dolnej powierzchni skrzydła.

Przyjmując kierunek, równoległy do dolnej powierzchni skrzydła, zmieniają kierunek swojego ruchu, a więc zwrot swojego pędu, kosztem zmiany pędu powierzchni w którą uderzają.

Tutaj już wygodniej jest rozpatrywać strumień gazu jako ośrodek ciągły - przyjmujemy więc, że w kontakcie z dolną powierzchnia skrzydła pewien wydatek masy zmienia swój pęd o pewien kierunek.

 

Dochodzi nam do niczego innego niż odrzutu - powietrza w dół, kosztem skrzydła do góry.

Najprostszym dowodem działania wklęsłości dolnej powierzchni skrzydła na wzrost siły nośnej jest porównanie profili o takich samych górnych powierzchniach, a coraz bardziej wklęśniętych spodach profilu.

W tym celu przygotowałem takie 3 profile:

 

 

Jest to S1223 niemodyfikowany, następnie z płaskim spodem i coś co jest dokładnie w pół drogi (tak wiem, że nieco się różnią, to bez znaczenia dla wniosków, a ja też czasem śpię)

 

Zobaczmy teraz, że zależność współczynnika siły nośnej zmienia się wraz z wysklepieniem profilu:

 

Widać, że im bardziej dolna powierzchnia profilu odchyla strumień powietrza do dołu, tym sił☺a nośna jest większa.

 

Miejsce powstawania dodatkowej siły nośnej jest bardzo łatwo udowodnić.

Skrzydło, zaopatrzone w profil aerodynamiczny, produkuje nie tylko siłę nośną, ale też moment pochylający. Moment pochylający jest wynikiem produkcji siły nośnej w okolicach spływu skrzydła (jest tam duże ramię), więc im bardziej pracuje spływ skrzydła, tym moment pochylający jest więcej (w przypadku S1223 najmocniej powietrze zmienia swój kierunek w okolicach właśnie spływu (duży gradient krzywizny tam jest). Z racji tego, że górna powierzchnia jest identyczna, to jedyna zmiana w pracy spływu wynikać może z kształtu dolnej powierzchni.

 

Widzimy, że zwiększanie wklęsłości spodu nie tylko zwiększa siłę nośna, ale przesuwa środek jej parcia ku spływowi, tam gdzie profil jest coraz bardziej wcięty.

 

 

9. Jak działa skrzydło - górna powierzchnia

 

Górna powierzchnia robi to samo, co dolna, czyli odchyla strumień ku dołowi

Problem polega na tym, że mechanizm zjawiska jest bardziej skomplikowany.

 

Całość rozbija się o efekt Coanda'y (człowiek nazywał się Coanda, jest samogłoska na końcu, dodajemy więc apostrof, prawda? Jeśli nie prawda, poprawcie mnie jak to się odmienia).

Efekt Coandy wynika z tego, że każdy płyn posiada swoją lepkość (która jest proporcjonalna do zwilżalności danej powierzchni - temat na kolejny długi, nudny post, ktoś chętny - to czemu nie).

Efekt nam znany, choćby z przykładania palca do wody ściekającej z kranu:

[źródło: http://www.formula1-dictionary.net/Images/coanda_effect.gif ]

 

W wyniku lepkości płynu przykleja się on do powierzchni nad którą się porusza.

W efekcie mamy podobny efekt, poruszający się nad naszym skrzydłem gaz, zmienia wektor swojego pędu, zmieniając przy okazji pęd opływanego skrzydła.

 

Najprostszym dowodem, że dochodzi do efektu odchylania się strugi jest nic innego jak wpływ kąta natarcia, na współczynnik siły nośnej.

Zwiększając kąt mamy do czynienia z coraz większą zmianą kierunku strugi, a w efekcie coraz większą zmianą pędu i siłą.

 

Celem pokazania wpływu tego efektu, musiałem się już trochę bardziej wysilić.

W tym celu zgwałciłem CalrkaY (i mnie to bolało bardziej niż jego, szczerze):

 

Celem gwałtu było stworzenie profilu o identycznym spodzie, identycznej długości górnej powierzchni, ale jednak zmieniającego kierunek ruchu strumienia gazu o inny kąt (wyrzuca strumień bardziej płasko).

Taki gwałt oczywiście rodzi problemy z separacja strumienia laminarnego, więc analiza jest dla kosmicznie wysokich Re, aby wyeliminować wpływ możliwej turbulencji.

 

W efekcie otrzymujemy taką zależność współczynnika siły nośnej od kąta natarcia:

 

Widać, że profil 'zmodyfikowany' wytwarza siły nośnej mniej niż przed 'modyfikacją'.

 

Warto również przeanalizować współczynnik momentu pochylający od kąta natarcia:

 

Widać, że dla 'zmodyfikowanego' profilu mamy mniejszy moment pochylający, czyli widać, że spływ pracuje znacznie słabiej.

 

Na sam koniec tematu górnej powierzchni skrzydła - jak to oddziałuje z powietrzem nad skrzydłem?

Otóż powietrze, o większym ciśnieniu, chce wejść tam gdzie ciśnienie jest niższe. Jak zwykle siła działa w dwie strony, więc nie tylko warstwa o wyższym ciśnieniu przyciąga tą o niższym, ale również działa to w drugą stronę.

 

10. Bernoulli, do domu?

 

Nie do końca.

 

Efekt Bernoulliego jest konsekwencją prawa zachowania pędu, nie możemy go całkiem wyrzucić.

Jednakże, równanie to jest jedynie pewnym przypadkiem, dla momentu gdy nasz opływ zachowuje się w sposób nieściśliwy, nielepki, struga idealnie przylega i ślad lepki skrzydła jest pomijalnie mały.

W efekcie, używa się go do charakterystyki opływu wokół profilu, ale inaczej niż przyzwyczaiły nasz książki popularnonaukowe.

 

Tj. Można go użyć do modelowania prędkości przepływu wokół profilu. Dzięki znajomości wpływu kształtu profilu, na zmianę pędu strumienia gazu możemy policzyć prędkości z jakimi porusza się strumień.

Nie ma to jednak NIC wspólnego z różnicami dróg na dolnej powierzchni skrzydła i górnej (a i to tylko pod warunkiem nie wystąpienia oderwania).

 

Zastosowanie tej metody nie jest specjalnie szerokie, ale jednak bardzo istotne.

W oparciu o nią powstała metoda odwrotna (ang. Inverse Design).

Polega ona na tym, że zadaje się programowi komputerowemu (XFoil, częściej XFLR5 w tych czasach) rozkład prędkości/ciśnień dla opływu nielepkiego, a komputer jest w stanie za pomocą metody perturbacyjnej stworzyć kształt profilu który zapewni taki rozkład ciśnień jak zadany.

Prezentuje się to tak mniej więcej:

 

Widać dwie krzywe, modyfikowane profile, historia na inny czas (acz fascynująca)..

 

Z jeszcze innych ważnych rzeczy, warto wspomnieć o tym jak łączy się to prawo z równaniem gazu doskonałego (4). Gdy dochodzi do spowolnienia opływu, mamy do czynienia ze zwiększeniem zagęszczenia cząsteczek, a to zwiększa częstość zderzeń z powierzchnią, a w konsekwencji mamy większe ciśnienie (dla przyśpieszenia tak samo, ale na odwrót).

 

Podkreślę jeszcze raz - użycie prawa Bernoulliego ogranicza się jedynie do modelowania szybkości przepływu nielepkiego (bądź takiego który się przybliża nielepkim), bądź do modelowania prędkości opływu w obszarze gdzie jeszcze nie doszło do istotnego wpływu warstwy przyściennej (czyli przed obszarem separacji laminarnej, więcej niżej) i nie ma nic wspólnego z długością dróg jaką przebyło powietrze!

 

 

11. Kłopoty z kątem natarcia - część 1 - turbulencja atakuje

 

Teraz powinno paść słuszne pytanie  - czemu na kącie natarcia 30st nie można latać, w końcu strumień powinien być odchylany jeszcze mocniej i siły nośnej powinno być więcej?

 

Odpowiedzią na to pytanie jest efekt separacji laminarnej warstwy przyściennej:

[źródło: http://www.dept.aoe.vt.edu/~jschetz/fluidnature/unit02/image_s.GIF ]

 

Aby zrozumieć co tu działa, musimy sobie przypomnieć o sile odśrodkowej.

W trakcie zmiany pędu powietrze zasysa skrzydło do góry, problem jest jednak taki, że na górnej powierzchni jedyne co trzyma opływ to efekt Coandy, który ma jednak skończoną siłę. W efekcie gdy siły odśrodkowej jest zbyt dużo dochodzi do oderwania opływu i powstania turbulencji, która zwiększa gwałtownie opór (zmniejsza się prędkość ruchu powietrza w płaszczyźnie poziomej, zasada zachowania pędu zaczyna działać na naszą niekorzyść), a jednocześnie spada zmiana pionowa, w efekcie dochodzi do gwałtownego przyrostu oporu i spadku siły nośnej, co widoczne jest na wykresie współczynnika siły nośnej od kąta natarcia w tern sposób:

 

 Warto też obejrzeć sobie to zjawisko na wykresie ciśnień na płacie.

Najpierw płat pracujący normalnie:

(zakres ujemny to ciśnienie mniejsze, górna krzywa opisuje górę profilu)

Widzimy ładną, równą charakterystykę zmiany ciśnienia wzdłuż cięciwy.

 

Teraz czas na moment tuż przed przeciągnięciem:

Widzimy miejsce na górnej powierzchni skrzydła, gdzie dochodzi do nagłego wzrostu ciśnienia, jednakże profil wciąz pracuje sensownie, gdyż większość strumienia odchylana jest do dołu, wzrost ciśnienia obejmuje cześć skrzydła będącą w okolicach największej grubości profilu (czyli tam gdzie strumień łapie prędkość do dołu).

 

No i walimy się w korkociąg :

 

Wzrost ciśnienia następuje już przed miejscem gdzie profil zaczyna opadać, niżej widać, że tylko dolna część skrzydła produkuje siłę nośną, górna już zrobiła sobie wolne.

Wszyscy znamy to z praktyki - wolniej, wolniej, wolniej, wolniej nie będzie nos w dół (chyba, że latamy Falconem - wtedy korek )

 

W tej dziedzinie jest jeszcze parę ciekawostek, ale mają one głównie wpływ na osiągi, są dosyć obszerne i skomplikowane, jeśli kogoś to interesuje, może kiedyś.

 

 

 

12. Kłopoty z kątem natarcia - część 2 - a dolna powierzchnia jest w dół, a profil wciąż produkuje siłę nośną

 

Cóż, szczerze ja tu żadnego problemu nie widzę, ale wiem, gdzie Wy możecie widzieć.

 

Zacznijmy od naszej wcześniejszej ofiary:

 

Jak widzimy - faktycznie dolna powierzchnia jest skierowana nieco ku górze.

Przyjrzyjmy się jednak rozkładowi ciśnień, widać, że jednak jest nieco większa powierzchnia pod częścią ujemną wykresu.

Ponadto widać, że owszem dolna powierzchnia odchyla nam strumień ku górze, jednak górna wciąż odchyla ku dołowi. Mamy tu więc do czynienia z pewną przepychanką, aż do kąta natarcia równego -3.5st, wtedy dochodzą do porozumienia i wspólnymi siłami produkują jedynie opór.

 

Bardzo fajnym przykładem jest tu profil symetryczny, dla zerowego kąta natarcia wykresy dolnego i górnego ciśnienia idealnie się pokrywają, a w obie strony zmian kątów natarcia rozłażą się tak samo

 

13. Kłopoty z kątem natarcia - część 3 - na dole też się odrywa

 

Trzeba również zauważyć, że separacja opływu nie jest zjawiskiem ekskluzywnym dla górnej powierzchni płata, w pewnych warunkach może zajść też na dolnej.

Pierwszy taki przypadek to oczywiście lot na plecach, wtedy dolna powierzchnia staję się górną i tyle.

 

Ciekawszym przypadkiem są profile mocno wysklepione, tam oderwanie na dolnej powierzchni może zajść dla niskich kątów natarcia, kiedy te profile produkują wciąż dodatnią siłę nośna.

Weźmy na warsztat taki profil:

 

Oznaczony strzałką fragment opisuje dolną powierzchnię płata, która produkuje ujemne ciśnienie. Wynika to z tego, że strumień powietrza, w trakcie oderwania, został skierowany do góry, a jednocześnie nie przykleił się na tyle, aby pozostała część spodu, mogła go skierować ku dołowi.

 

14. Klapa w dół, co się dzieje

 

Porównajmy profil dla klapy (lotki) wychylonej w dół i bez tego wychylenia:

 

Obejrzyjmy rozkład ciśnienia dla 4st kąta natarcia bez klapy:

 

I ten sam kąt z klapą:

 

To co widzimy to to, że:
a. Ciśnienie na spodzie wzrosło dwukrotnie w okolicach spływu

b. Na górze najpierw dochodzi do gwałtownego spadku ciśnienia, a później jednak szybko rośnie. Jest to wynik separacji strugi, nie jest się ona w stanie dokleić do górnej powierzchni tak głęboko odchylonej w dół.

 

Obu fenomenów nie da się wyjaśnić na bazie różnic w drodze przepływu.
 

 

15. Podsumowanie

 

Siła nośna to prosta rzecz, da się wyjaśnić na gruncie naprawdę prostej fizyki, nie róbmy z tego wiedzy tajemnej i na pytanie "A dlaczego samolot lata?" nie odpowiadajmy stwierdzeniem "Dzięki prawu Bernoulliego". Nazwanie zjawiska nie powoduje, że je rozumiemy, to takie nasze oszustwo, żeby się poczuć lepiej. Dopiero gdy jesteśmy w stanie zejść do fizycznych podstaw zjawiska, to dopiero wtedy wiemy na czym zjawisko polega. Tak jak ktoś powiedział - świat jest prosty, fizyka wszystkie najbardziej skomplikowane rzeczy rozwija z najprostszych zasad.

 

16. Od autora

 

To co przedstawiłem wyżej to nie jest moja religia, nie opiera się na mojej wierzę, nie opiera się o poglądy, to podstawy fizyczne, a fizyka to nauka.

Dlatego nie wahajcie się pytać, na każde merytoryczne pytanie będę odpowiadał z uporem maniaka (dlaczego? Z szacunku do tych którzy w swoim czasie mi odpowiadali), proszę jednak o okazanie szacunku do mojej pracy, włożonej w ten post i zwyczajne czytanie dokładnie - przed zadaniem pytania.

 

A na sam koniec - Jeśli tu dotarłeś - wisisz mi puszkę Coli Zero, nikt nie mówił że wiedza jest za darmo